Face à un dilemme un peu troublant, une majorité d’élèves a rapidement tranché : un million immédiatement plutôt qu’un centime qui double chaque jour pendant 30 jours. À première vue, le choix semble rationnel. Mais sur le plan mathématique, il ne l’est pas du tout. Et pourtant, 82 % des élèves d’une classe de terminale ont fait ce que ce professeur appelle « le mauvais choix ».
Un dilemme simple en apparence, complexe en réalité
Le professeur de mathématiques à l’origine de ce test — que nous avons rencontré dans un lycée de la région parisienne — aime poser cette question en début d’année pour sonder le rapport qu’ont ses élèves avec les chiffres et la logique. La question est la suivante : préférez-vous recevoir immédiatement un million d’euros ou choisir un centime qui double chaque jour pendant 30 jours ?
Selon lui, « la meilleure façon d’enseigner la puissance des exponentielles, c’est de confronter les élèves directement à leurs limites de raisonnement ». Les résultats de son expérience sont frappants : sur une classe de 34 élèves, 28 ont préféré la somme de 1 000 000 € immédiatement. Seuls 6 ont opté pour le centime progressif.
« On pense rarement à vérifier si un petit montant, avec une bonne croissance, peut dépasser une grosse somme. Je fais partie des 82 % qui ont dit un million sans réfléchir. Quand le prof nous a montré le vrai calcul… j’ai eu l’impression de m’être fait avoir. » — Maëlle, élève de terminale
Décomposition du calcul : qui l’emporte ?
Mathématiquement, la question repose sur une progression géométrique. Le centime initial double chaque jour. La formule est simple :
Montant au jour n = 0,01 € × 2n-1
| Jour | Montant en euros |
|---|---|
| 1 | 0,01 |
| 10 | 5,12 |
| 20 | 5 242,88 |
| 25 | 167 772,16 |
| 30 | 5 368 709,12 |
Dans les faits, le million d’euros est largement dépassé autour du 28e jour. Et au 30e jour, l’élève qui a choisi le centime cumule plus de 5,36 millions d’euros. Une différence substantielle.
Une perception biaisée de la croissance
Ce qui est fascinant ici, c’est que cette erreur n’est pas limitée aux jeunes. De nombreuses études en psychologie cognitive pointent que la croissance exponentielle est une notion que notre cerveau appréhende mal. Comme l’explique le rapport du ministère de l’Éducation du Manitoba (edu.gov.mb.ca), les raisonnements linéaires dominent la pensée intuitive. Et dans les dix premiers jours, le centime ne dépasse même pas les 10 euros. Il est donc facile de décrocher intellectuellement.
Une erreur courante, mais riche d’enseignements
En parlant avec plusieurs enseignants, il apparaît que ce genre d’exercice est de plus en plus utilisé pour faire prendre conscience de la puissance des progressions géométriques — en mathématiques mais aussi en économie ou en biologie (ex : propagation exponentielle).
Le site maths-et-tiques.fr met d’ailleurs en avant des problèmes similaires afin de renforcer la littératie numérique des élèves. Ce sont des exercices cruciaux à l’ère où l’on parle souvent de croissance exponentielle des données ou de contagion virale.
Ce que révèle le choix impulsif de 82 % des élèves
Plusieurs facteurs expliquent cette erreur collective : l’intuition financière (qui privilégie l’argent liquide immédiat), une impatience naturelle, mais aussi une méconnaissance profonde de la vitesse de la croissance exponentielle. Le professeur à l’origine de cette expérience note aussi une forme de résignation : « À partir du 15e jour, beaucoup abandonnent les calculs. Ils se disent que ça ne décollera jamais ».
Ce constat rejoint les considérations pédagogiques observées dans le document « Réflexions sur des pratiques CM2 » de l’IA Toulouse (edu1d.ac-toulouse.fr) : familiariser les élèves aux logiques sous-jacentes des mathématiques favorise durablement leur compréhension du monde.
Vers une éducation du raisonnement, pas de la réponse rapide
Ce type d’exercice ne vise pas à piéger. Il sert à « désinstaller » le réflexe de croire que le plus gros est toujours le plus sûr. Il encourage à chercher, vérifier, calculer. C’est là que réside, selon ce professeur, l’intérêt pédagogique : détourner le réflexe rapide au profit de la stratégie rationnelle.
Peut-être qu’en considérant que les questions importantes ne méritent pas toujours une réponse immédiate, on formerait des citoyens plus à même de comprendre les décisions systémiques qu’exige le monde contemporain.
FAQ
Quelle est la formule mathématique pour calculer la somme des centimes qui doublent chaque jour ?
La somme totale après n jours se calcule avec la formule de la série géométrique : S = 0,01 × (2n – 1). Pour 30 jours, cela donne : 0,01 × (230 – 1) = 10 737 418,23 €.
Comment expliquer ce problème aux élèves de CM2 ?
On peut commencer par leur montrer les résultats jour après jour et leur demander d’observer les changements. Les visualisations ou les activités concrètes (ex: pièces de monnaie) sont très efficaces à ce stade.
Quels autres exemples de problèmes similaires peuvent être utilisés en classe ?
- L’histoire du roi et des grains de riz sur l’échiquier
- Les intérêts composés dans une tirelire
- Le nombre de bactéries qui double toutes les heures
Quelle est la solution exacte pour ce problème ?
Le montant final après 30 jours de doublement est exactement de 0,01 × 229 = 5 368 709,12 € si on ne prend que le 30e jour. Si on additionne tous les jours, on obtient 10 737 418,23 €.
Comment les élèves peuvent-ils vérifier leurs réponses ?
Ils peuvent utiliser une calculatrice scientifique ou un tableur comme Excel/LibreOffice pour définir une colonne avec : Jour 1 = 0,01, puis doubler chaque valeur jusqu’au jour 30. On peut aussi appliquer la formule de la somme d’une série géométrique.
